区别主要有：1、意义不同；2、定义不同。集合论依赖于其下层的演绎系统，而类型论同时也是它自己的演绎系统。考虑集合论的证明论（proof theory）没有意义，因为集合论的证明论就是下层演绎系统的证明论。而考虑类型论的证明论则有意义，并且十分有帮助。
1、意义不同
集合论依赖于其下层的演绎系统，而类型论同时也是它自己的演绎系统。例如，同样是ZF公理，在一阶古典逻辑和一阶直觉主义逻辑中进行推理，所能证明的命题是不同的。而类型论则不然：我们定义项和类型的关系的同时，也定义了怎样对这些关系进行推理。因此，每个类型论都是包含一个演绎系统的。
换言之，考虑集合论的证明论（proof theory）没有意义，因为集合论的证明论就是下层演绎系统的证明论。而考虑类型论的证明论则有意义，并且十分有帮助。
2、定义不同
集合论中的定义基本是自下而上（bottom-up）的，而类型论中的定义则不然。在集合论中，我们先定义我们想要的物件（object），再定义这些物件的集合。而在类型论中，我们定义一个类型的同时，也定义了该类型所包含的物件。举个例子：假如我们要在集合论里定义自然数（即建构一个皮亚诺算术的模型），我们可能会定义0为 ∅\varnothing\varnothing ，然后再定义对于任意自然数（或表示自然数的集合） nnn ，有 S(n)=n∪{n}S(n) = n \cup \{n\}S(n) = n \cup \{n\} 。接着，我们再递归地定义 N\mathbb{N}\mathbb{N} 为所有这样建构的物件的集合。而在类型论（如Calculus of Inductive Constructions）中则不然。如果我们要在CIC中定义自然数，我们会使用如下的定义：
Inductive nat : Set :=
| zero : nat
| succ : nat -> nat.
可以看到，我们定义nat类型的同时定义了它所有的构造方法，进而间接定义了其所有成员。（这里使用了Coq的语法。）换言之，集合论中集合建立在其成员的基础之上，而类型论中的类型和其成员是共生的。因此，如果我们定义一个恒等函数 ididid ，在集合论里我们可以说 id∉Nid \notin \mathbb{N}id \notin \mathbb{N} ，但在类型论的语言中考虑 id是否nat的一员并没有意义（或者说，not even wrong）。当然，在类型论的元理论中我们可以表达”id的类型不是nat“这个命题，但这是元理论的范围了。
延伸阅读：
什么是类型论？
在较广泛的层面上，类型论是关注把实体分类到叫做类型的搜集中的数学和逻辑分支。在这种意义上，它与类型的形而上学概念有关。现代类型论在部分上是响应罗素悖论而发明的，并在伯特兰·罗素和阿弗烈·诺夫·怀海德的《数学原理》中起到重要作用。
在计算机科学分支中的编程语言理论中，类型论提供了设计分析和研究类型系统的形式基础。实际上，很多计算机科学家使用术语“类型论”来称呼对编程语言的类型语言的形式研究，尽管有些人把它限制于对更加抽象的形式化如有类型lambda演算的研究。
另外在社会学和心理学上也有相关应用。
文章标题：类型（Types）和集合（Sets）二者之间有何区别，发布者：小编，转载请注明出处：https://worktile.com/kb/p/38603
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