什么是拓扑

拓扑空间上的结构称为空间拓扑。所有的拓扑都是数学对象的子集的集合，称为空间的“开集”。拓扑中包含的特定集合定义了空间的结构。

拓扑空间的定义

拓扑空间是具有最基本的结构的一组数学对象。数学中的结构通常意味着：数学对象之间的相加、相乘、距离或其他的概念。显然，这些结构适用于我们日常中遇到的数字。

但是，拓扑空间的结构比加法、乘法和距离的思想更加基本。事实上，这些数字所在的空间是拓扑空间的一个特定情况，也就是说，实数实际上是拓扑空间的一个特殊情况。

拓扑空间上的结构称为空间拓扑。所有的拓扑都是数学对象的子集的集合，称为空间的“开集”。拓扑中包含的特定集合定义了空间的结构，这概念似乎很模糊和抽象，这是因为事实就是如此，这是数学中最抽象的结构形式。

当然，你不必完全理解此定义，只需记住拓扑及其内部的“开集”可以确定空间的结构。同样重要的是，使一个拓扑空间与另一个拓扑空间区分开的，是我们选择放入该空间拓扑中的集合。

拓扑有什么用？

实际上，拓扑在统计领域中非常有用。统计学中一个新兴的研究领域是拓扑数据分析。有用的数据通常具有某种结构，这些结构具有某种规律或趋势，而数据分析本质上是揭示此结构的过程。在数据中寻找结构通常取决于我们如何看待数据，即：使用什么统计检验，将哪些变量与其他变量进行比较以及使用哪些可视化表示。

从拓扑结构中，我们知道看起来完全不同的事物实际上可以具有相同的结构。这个想法也可以应用于数据，因为即使在处理相同的数据，若看待数据的角度不同，它们看起来也可能完全不同。

在拓扑数据分析中，数据的结构将会进行拓扑处理。我们知道，拓扑属性是在不改变其拓扑性质的变换过程中保持不变的属性。因此，在对数据进行拓扑数据分析时，我们主要寻找在经过各种处理方式之后保持不变的属性，这个过程可以类比于像拉伸橡皮泥一样拉伸数据。通过这种方式，我们可以确定数据的真实结构，并且不再依赖数据的观察方式。

这只是所谓的“现实世界”中许多拓扑应用之一。其他拓扑应用程序还涉及看起来不同的事物实际上是否是相同的问题，这个问题在处理经由不同的人、不同方式表述的同样的信息中非常重要。具有不同的表示方式的几种情况有：分子结构、地理图、DNA结构和绳结等等。

虽然最初可能很难看清，但是拓扑是大多数数学领域的基础。确切定义拓扑的“使用方式”非常困难，因为它的存在在数学的工作方式中根深蒂固，以至于我们甚至都没有注意到我们正在使用它。直到最近，拓扑学才成为独立于其他数学领域的学科，不断涌现出新的研究成果和应用。

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