Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

Prim算法介绍

1.点睛

在生成树的过程中,把已经在生成树中的节点看作一个集合,把剩下的节点看作另外一个集合,从连接两个集合的边中选择一条权值最小的边即可。

2.算法介绍

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

首先任选一个节点,例如节点1,把它放在集合 U 中,U={1},那么剩下的节点为 V-U={2,3,4,5,6,7},集合 V 是图的所有节点集合。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

现在只需要看看连接两个集合(U 和 V-U)的边中,哪一条边的权值最小,把权值最小的边关联的节点加入集合 U 中。从上图可以看出,连接两个集合的 3 条边中,1-2 边的权值最小,选中它,把节点 2 加入集合 U 中,U={1,2},V – U={3,4,5,6},如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

再从连接两个集合(U 和 V-U)的边中选择一条权最小的边。从上图看出,在连接两个集合的4条边中,节点2到节点7的边权值最小,选中这条边,把节点7加入集合U={1,2,7}中,V-U={3,4,5,6}。

如此下去,直到 U=V 结束,选中的边和所有的节点组成的图就是最小生成树。这就是 Prim 算法。

直观地看图,很容易找出集合 U 到 集合 U-V 的边中哪条边的权值是最小的,但在程序中穷举这些边,再找最小值,则时间复杂度太高。可以通过设置数组巧妙解决这个问题,closet[j] 表示集合 V-U 中的节点 j 到集合 U 中的最邻近点,lowcost[j] 表示集合 V-U 中节点 j 到集合 U 中最邻近点的边值,即边(j,closest[j]) 的权值。

例如在上图中,节点 7 到集合 U 中的最邻近点是2,cloeest[7]=2。节点 7 到最邻近点2 的边值为1,即边(2,7)的权值,记为 lowcost[7]=1,如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

所以只需在集合 V – U 中找到 lowcost[] 只最小的节点即可。

3. 算法步骤

1.初始化

令集合 U={u0},u0 属于 V,并初始化数组 closest[]、lowcost[]和s[]。

2.在集合 V-U 中找 lowcost 值最小的节点t,即 lowcost[t]=min{lowcost[j]},j 属于 V-U,满足该公式的节点 t 就是集合 V-U 中连接 U 的最邻近点。

3.将节点 t 加入集合 U 中。

4.如果集合 V – U 为空,则算法结束,否则转向步骤 5。

5.对集合 V-U 中的所有节点 j 都更新其 lowcost[] 和 closest[]。if(C[t][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=C[t][j];closest[j]=t;},转向步骤2。

按照上面步骤,最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。

4.图解

图 G=(V,E)是一个无向连通带权图,如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

1 初始化。假设 u0=1,令集合 U={1},集合 V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true,初始化数组 closest[]:除了节点1,其余节点均为1,表示集合 V-U 中的节点到集合 U 的最邻近点均为1.lowcost[]:节点1到集合 V-U 中节点的边值。closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

初始化后的图为:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

2 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=2,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

3 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2},同时更新 V-U={3,4,5,6,7}

4 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 2 的邻接点是节点 3 和节点7。

C[2][3]=20<lowcost[3]=无穷大,更新最邻近距离 lowcost[3]=20,最邻近点 closest[3]=2;

C[2][7]=1<lowcost[7]=36,更新最邻近距离 lowcost[7]=1,最邻近点 closest[7]=2;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

更新后的集合如下图所示:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

5 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=7,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

6 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2,7},同时更新 V-U={3,4,5,6}

7 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 7 的邻接点是节点 3、4、5、6。

  • C[7][3]=4<lowcost[3]=20,更新最邻近距离 lowcost[3]=4,最邻近点 closest[3]=7;

  • C[7][4]=4<lowcost[4]=无穷大,更新最邻近距离 lowcost[3]=9,最邻近点 closest[4]=7;

  • C[7][5]=4<lowcost[5]=无穷大,更新最邻近距离 lowcost[3]=16,最邻近点 closest[5]=7;

  • C[7][6]=4<lowcost[6]=28,更新最邻近距离 lowcost[3]=25,最邻近点 closest[6]=7;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

更新后的集合如下图所示:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

8 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=3,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

9 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2,3,7},同时更新 V-U={4,5,6}

10 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 3 的邻接点是节点 4。

C[3][4]=15>lowcost[4]=9,不更新

closest[] 和 lowcost[] 数组不改变。

更新后的集合如下图所示:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

11 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=4,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

12 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2,3,4,7},同时更新 V-U={5,6}

13 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 4 的邻接点是节点 5。

C[4][5]=3<lowcost[5]=16,更新最邻近距离 lowcost[5]=3,最邻近点 closest[5]=4;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

更新后的集合如下图所示:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

14 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=5,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

15 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2,3,4,5,7},同时更新 V-U={6}

16 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 5 的邻接点是节点 6。

C[5][6]=17<lowcost[6]=25,更新最邻近距离 lowcost[6]=17,最邻近点 closest[6]=5;

更新后的集合如下图所示:

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

17 找 lowcost 最小的节点,对应的 t=6,选中的边和节点如下图。

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

18 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中,U={1,2,3,4,5,6,7},同时更新 V-U={}

19 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 6 在集合 V-U 中无邻接点。不用更新 closest[] 和 lowcost[] 。

20 得到的最小生成树如下。最小生成树的权值之和为 57.

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

Prime 算法实现

1.构建后的图

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

2.代码

package graph.prim; import java.util.Scanner; public class Prim {    static final int INF = 0x3f3f3f3f;    static final int N = 100;    // 如果s[i]=true,说明顶点i已加入U    static boolean s[] = new boolean[N];    static int c[][] = new int[N][N];    static int closest[] = new int[N];    static int lowcost[] = new int[N];     static void Prim(int n) {        // 初始时,集合中 U 只有一个元素,即顶点 1        s[1] = true;        for (int i = 1; i <= n; i++) {            if (i != 1) {                lowcost[i] = c[1][i];                closest[i] = 1;                s[i] = false;            } else                lowcost[i] = 0;        }        for (int i = 1; i < n; i++) {            int temp = INF;            int t = 1;            // 在集合中 V-u 中寻找距离集合U最近的顶点t            for (int j = 1; j <= n; j++) {                if (!s[j] && lowcost[j] < temp) {                    t = j;                    temp = lowcost[j];                }            }            if (t == 1)                break; // 找不到 t,跳出循环            s[t] = true; // 否则,t 加入集合U            for (int j = 1; j <= n; j++) { // 更新 lowcost 和 closest                if (!s[j] && c[t][j] < lowcost[j]) {                    lowcost[j] = c[t][j];                    closest[j] = t;                }            }        }    }     public static void main(String[] args) {        int n, m, u, v, w;        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        n = scanner.nextInt();        m = scanner.nextInt();        int sumcost = 0;        for (int i = 1; i <= n; i++)            for (int j = 1; j <= n; j++)                c[i][j] = INF;        for (int i = 1; i <= m; i++) {            u = scanner.nextInt();            v = scanner.nextInt();            w = scanner.nextInt();            c[u][v] = c[v][u] = w;        }        Prim(n);        System.out.println("数组lowcost:");         for (int i = 1; i <= n; i++)            System.out.print(lowcost[i] + " ");         System.out.println();        for (int i = 1; i <= n; i++)            sumcost += lowcost[i];        System.out.println("最小的花费:" + sumcost);    }}

3.测试

Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现

到此,相信大家对“Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现”有了更深的了解,不妨来实际操作一番吧!这里是亿速云网站,更多相关内容可以进入相关频道进行查询,关注我们,继续学习!

文章标题:Java中Prime算法的原理是什么与怎么实现,发布者:亿速云,转载请注明出处:https://worktile.com/kb/p/25230

(0)
打赏 微信扫一扫 微信扫一扫 支付宝扫一扫 支付宝扫一扫
亿速云的头像亿速云
上一篇 2022年9月15日 上午1:51
下一篇 2022年9月15日 上午1:53

相关推荐

  • 2024年9款优质CRM系统全方位解析

    文章介绍的工具有:纷享销客、Zoho CRM、八百客、红圈通、简道云、简信CRM、Salesforce、HubSpot CRM、Apptivo。 在选择合适的CRM系统时,许多企业面临着功能繁多、选择困难的痛点。对于中小企业来说,找到一个既能提高客户关系管理效率,又能适应业务扩展的CRM系统尤为重要…

    2024年7月25日
    1600
  • 数据库权限关系图表是什么

    数据库权限关系图表是一种以图表形式展示数据库权限分配和管理的工具。它可以有效地帮助我们理解和管理数据库中的各种权限关系。数据库权限关系图表主要包含以下几个部分:数据对象、用户(或用户组)、权限类型、权限级别、权限状态等。其中,数据对象是权限关系图表中的核心元素,它代表了数据库中的各种数据资源,如表、…

    2024年7月22日
    200
  • 诚信数据库是什么意思

    诚信数据库是一种收集、存储和管理个人或组织诚信信息的系统。它是一种用于评估和管理个人或组织行为的工具,通常由政府、商业组织或者非营利组织进行运营。诚信数据库的主要功能包括:1、评估个人或组织的诚信状况;2、提供决策支持;3、预防和控制风险;4、促进社会信用体系建设。 在这四大功能中,评估个人或组织的…

    2024年7月22日
    400
  • 数据库期末关系代数是什么

    关系代数是一种对关系进行操作的代数系统,是关系模型的数学基础,主要用于从关系数据库中检索数据。其操作包括选择、投影、并集、差集、笛卡尔积、连接、除法等。其中,选择操作是对关系中的元组进行筛选,只保留满足某一条件的元组;投影操作则是从关系中选择出一部分属性构造一个新的关系。 一、选择操作 选择操作是关…

    2024年7月22日
    700
  • mysql建立数据库用什么命令

    在MySQL中,我们使用"CREATE DATABASE"命令来创建数据库。这是一个非常简单且基础的命令,其语法为:CREATE DATABASE 数据库名。在这个命令中,“CREATE DATABASE”是固定的,而“数据库名”则是你要创建的数据库的名称,可以自己设定。例如,如…

    2024年7月22日
    500
注册PingCode 在线客服
站长微信
站长微信
电话联系

400-800-1024

工作日9:30-21:00在线

分享本页
返回顶部