什么是二叉树

刘佳 200

二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合,它的每个结点至多只有两棵子树,所以二叉树或是空集,或是由一个根结点及两棵不相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成,是树形结构的一种重要类型。二叉树可以分为平衡二叉树,完全二叉树等等。

二叉树的性质

1.在二叉树的第i个点上至多有2i-1各基地单个节点。
2.深度为k的节点上至多有2k-1个节点(k≥1)。
3.对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
4.具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1。
5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为「log2n」+1)的结点按层序编号(从第1层到第「log2n」+1层,每层从左到右),则对任一结点i(1≤i≤n),有:
  (1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲PARENT(i)是结点「i/2」
  (2)如果2i>n,则结点n无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
  (3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子,否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1

常见的二叉树

平衡二叉树:当且仅当任意节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树。
完全二叉树:除了最后一层外,其他层的节点数目都达到最大的二叉树。完全二叉树是平衡二叉树的一个特例,完全二叉树最后一层上的节点都是从左到右填充的。对于一颗k层的完全二叉树,其节点总数最少的情况是:最后一层只有一个节点,此时节点数目为:2k-1;其节点总数最多的情况是:最后一层节点数目达到最大,即满二叉树,此时节点数目为:2k-1。对于节点数目为k的完全二叉树,其深度为log2(k+1):
满二叉树:所有层的节点数目均达到最大的二叉树。满二叉树是完全二叉树的一个特例。对于深度为k的满二叉树,其节点数目是:2k-1;对于节点数目为k的满二叉树,其深度为:log2(k+1)。

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